Igualdades y Desigualdades

Igualdades

Cuando dos objetos son iguales si (y solo si) son el mismo objeto. Por ejemplo, la frase "la suma de dos y dos" y la expresión "el cuatro" se refieren al mismo objeto matemático, un cierto número natural. La expresión "es igual a" o "es lo mismo que" se suele representar en matemáticas con el signo ' = ' .

Un enunciado en el que dos expresiones (iguales o distintas) denotan el mismo objeto se llama una ecuación o una igualdad. Un ejemplo de ecuación sería "dos más dos es lo mismo que cuatro", que se suele escribir así:

2   +   2   =   4

Una relación de equivalencia entre los elementos de un conjunto divide el conjunto en una serie de clases. El conjunto de las clases de equivalencia se llama 'conjunto cociente'. Decimos que dos elementos del conjunto original son ' equivalentes ' si pertenecen a la misma clase.

Las igualdades pueden ser:

1) Condicionales, en cuyo caso se cumplen para solo algunos valores de la variable, por ejemplo, si  3x = 6, solo se cumple la igualdad sí   x = 2.

2) Identidades se cumplen para todos los valores permisibles de la variable, por ejemplo: (x – 4) = x – 8x + 16 es una identidad algebraica que se cumple para todos los valores de x.

Desigualdades

Una desigualdad es una relación que existe entre dos cantidades o expresiones y, que nos indica que tienen diferente valor. Es decir, lo contrario a lo que ocurre en una igualdad. 

En la desigualdad, los términos están relacionados por un símbolo de "mayor que" (>) o "menor que" (<). También existen otros derivados de estos dos. Si alguno de estos dos símbolos aparece acompañado por una línea horizontal por debajo, significa "mayor o igual que" o "menor o igual que", respectivamente. Un ejemplo de una desigualdad es: 2x + 7 < 19 Que se lee como "2 x más 7 es menor que 19". Y representa al conjunto de números para el que esta expresión es verdadera.

Signos de Desigualdad

 No es igual

<       Menor que

>       Mayor que 

  Menor o igual que

  Mayor o igual que

Reglas para desigualdades

1. Si un mismo número es sumado o restado en ambos lados de la desigualdad, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica: si a < b, entonces a + c < b + c y a + c < b + c

Por ejemplo: 7 < 10, de modo que 7 + 3 < 10 + 3

2. Si ambos lados de una desigualdad son multiplicados o divididos por por el mismo número positivo, la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original. En forma simbólica: si a < b y c > 0, de modo que ac < bc y a/c < b/c

Por ejemplo: 3 < 7 y 2 > 0, de modo que 3(2) < 7(2) y 3/2 < 7/2

3. Si ambos lados de la desigualdad son multiplicados o divididos por el mismo número negativo, entonces la desigualdad tendrá el sentido contrario de la original. En forma simbólica: si a < b y c < 0, entonces a(-c) > b(-c) y a/-c > b/-c<

Por ejemplo: 4 < 7 pero 4(-2) > 7(-2) y 4/-7 > 7/-2

4. Cualquier lado de la desigualdad puede ser reemplazado por una expresión equivalente. En forma simbólica: si a < b y a = c, entonces c < b

Por ejemplo, si x < 2 y x = y + 4, entonces y + 4 < 2.

5. Si los lados de una desigualdad son ambos positivos o negativos, entonces sus recíprocos respectivos estarán relacionados por un símbolo de desigualdad con sentido contrario de la original.

Por ejemplo, 2 < 4 pero ½ > ¼el recíproco de un número a diferente de cero está definido cómo 1/a.

6. Si ambos lados de una desigualdad son positivos y elevados cada uno a la misma potencia positiva, entonces la desigualdad resultante tendrá el mismo sentido que la original.

Por tanto 0 < a < b y n > 0, entonces aⁿ < bⁿ